Русский государственный и военный деятель сенатор А.А. Бибиков родился 7 января 1765 года в дворянской семье. Он происходил из древнего рода татарского происхождения, известного с середины XV века. Слово "бибик" в те века означало человека с каким-либо физическим недостатком. Вскоре прозвище стало фамилией, которую в прошлом носили многие дворянские роды, в документах она встречается с XVI века. Род был внесен в 6-ю часть дворянских родословных книг Калужской, Московской, Псковской, Владимирской, Ярославской и Владимирской губерний.
Александр был сыном крупного военного и государственного деятеля екатерининской эпохи - генерал-аншефа и сенатора Александра Ильича Бибикова (1729-1774), известного как усмиритель Пугачевского бунта 1773-1774 годов, от брака с княжной Анастасией Семеновной Козловской (1729-1800). Кроме того, он был племянником М.И. Кутузова. В 1768 году, уже в трехлетнем возрасте, Александр, по обычаям своего времени, был зачислен унтер-офицером в лейб-гвардии Измайловский полк. В том же году он был пожалован сержантом. В 1774 году его отец умер в Бугульме, во время похода. Девятилетний Александр Бибиков, в уважение к памяти Александра Ильича, был пожалован гвардии прапорщиком, с переводом в лейб-гвардии Преображенский полк.
22 сентября 1786 года А.А. Бибиков был пожалован в камер-юнкеры Высочайшего Двора, а окончив свое воспитание и поступив на действительную службу в полк, он 1 января 1787 года был уже в чине капитана лейб-гвардии Преображенского полка. В том же 1787 году он находился в свите Императрицы во время путешествия в Тавриду и был награжден золотой медалью в память этой поездки.
С началом русско-шведской войны 1788-1790 годов А.А. Бибиков испросил Высочайшее дозволение поступить волонтером в корпус генерал-поручика И.И. Михельсона, который был сподвижником его отца и теперь принял сына под свое непосредственное начальство и руководство. В шведскую кампанию Бибиков участвовал в рекогносцировках при посте Гекфорском и под деревней Киро, близ Вильманстранда, а затем и в сражении под Киро, где, с двумя гренадерами, овладел неприятельской пушкой. Далее, в сражении под Паросальмом (1 июня 1789 года) Бибиков был ранен в левую ногу пулей, а в сражении 8 июня, также при Паросальме, командуя ротой гренадер, оказал особое мужество и был опять ранен. "За отличную храбрость, оказанную при Кири против войска Шведского короля, командуя ротою гренадер, скинув рогатку и открыв путь в неприятельский ретраншамент, был первым в него вступившим", 9 июня 1789 года А.А. Бибиков был награжден орденом Св. Георгия 4-й степени.
9 июля 1789 года А.А. Бибиков находился в сражении при переходе шведов через Кюмень в Мемеле, а 29 июля - при переходе наших войск в Мемель. После этого Бибиков состоял при командующем русским гребным флотом вице-адмирале принце Нассау-Зигене и, исполняя разные его поручения, участвовал 13 августа 1789 года в сражении у Роченсальма, которое снова дало ему возможность отличиться. 21 августа, при высадке в устье реки Кюмени, Бибиков командовал батальоном лейб-гвардии Преображенского полка. За отличие, оказанное в этих двух сражениях, Бибиков 30 августа 1789 года был пожалован золотой шпагой с надписью "За храбрость".
Во второй половине 1789 года А.А. Бибиков состоял при начальнике гребного флота принце Нассау-Зигене. Во время боя в устье Кюмени он командовал батальоном лейб-гвардии Преображенского полка. По окончании войны Бибиков вернулся в Петербург и продолжал службу в гвардии еще 5 лет. 31 мая 1795 года он перешел на гражданскую службу, был пожалован в действительные камергеры.
После вступления на престол Павла I, А.А. Бибиков 13 ноября 1796 года был командирован с Сообщением об этом событии к герцогу Вюртембергскому. В ноябре 1798 года император Павел, весьма благоволивший к Бибикову, перевел его на дипломатическую службу в ведомство Коллегии иностранных дел, где тот выполнял различные дипломатические поручения. Еще до этого, 1 октября 1798 года, Бибиков был произведен в тайные советники, а 22 декабря 1798 года был назначен чрезвычайным посланником и полномочным министром при португальском дворе. В Лиссабоне, правда, Бибиков пробыл недолго. Уже 1 января 1799 года он был перемещен чрезвычайным посланником в Саксонию, а 28 февраля 1799 года отозван от занимаемого им поста в Петербург, 7 января 1800 года Высочайшим указом назначен сенатором и причислен к герольдии для определения к другим делам. В тот же день пожалован ему орден св. Анны 1-й степени. В качестве сенатора с 12 января 1800 года Бибиков заседал во Временном межевом департаменте, однако 1 февраля 1800 года он Высочайшим указом неожиданно был уволен в отставку и несколько лет оставался не у дел.
В начале царствования Александра I Бибиков находился в отставке. Никаких должностей у него не было до 16 декабря 1806 года, когда при формировании земского войска дворянство Ораниенбаумского уезда Петербургской губернии избрало его начальником ополчения.
В начале 1808 года А.А. Бибиков вновь был принят на службу и 10 февраля Высочайшим указом назначен чрезвычайным посланником и полномочным министром в Неаполе. Этот пост он занимал до 22 февраля 1810 года, когда был отозван в Петербург, где 20 декабря того же года вновь был назначен к присутствию в Сенате, во II отделении 5-го департамента, а 8 мая 1811 года перемещен в I отделение 3-го департамента.
В 1812 году, с началом Отечественной войны, Бибиков пожелал вернуться на военное поприще и подал через своего дядю, графа M.И. Голенищева-Кутузова, ходатайство о дозволении ему вступить в ряды ополченцев. Государь разрешил ему определиться в Петербургское ополчение, которым командовал Кутузов. Бибиков сначала помогал Кутузову при организации ополчения, а потом стал командиром одного из двух отрядов, на которые делились петербургские ополченцы. Отряд Бибикова состоял из 5575 человек, в том числе 4000 ополченцев, к которым потом были присоединены по два эскадрона Гродненского гусарского и Польского уланского полков.
3 сентября 1812 года Бибиков выступил со своим отрядом из Петербурга на соединение с корпусом генерала П.Х. Витгенштейна, которого нагнал 28 сентября. В тот же день Витгенштейн назначил его командиром дружин Петербургского и Новгородского ополчений. Уже 6 октября Бибиков со своими ополченцами участвовал в сражении под Полоцком и бесстрашием заслужил особую благодарность главнокомандующего. На следующий день, при штурме Полоцка, ополченцы были опять впереди и первыми ворвались в город. За это "в ознаменование отличных подвигов мужества и храбрости, оказанных в сражении против французских войск 6-го и 7-го октября при Полоцке" 3 января 1813 года А.А. Бибиков был награжден орденом Св. Георгия 3-й степени.
После соединения графа Витгенштейна с корпусом генерала Ф.Ф. Штейнгеля, Бибиков 15 октября получил в свое командование 1-ю линию боевого корпуса, состоявшую из Пермского, Севского и Калужского пехотных полков, а также сводного Егерского полка, нескольких эскадронов конницы и 30 орудий. Его отряд (вместе с ополченскими частями) также именовался 5-й пехотной дивизией.
С неослабевающей энергией действовал А.А. Бибиков в боях под Чашниками и под деревней Смольной. В последнем сражении он был тяжело ранен пулей в ногу, но не оставил поля битвы. Во главе дивизии он участвовал в сражениях под Борисовом, при Березине и при Студянке. В сражении под Студянкой 16 ноября 1812 года Бибиков со своими ополчениями принимал самое деятельное участие в бою. Но так как тяжелая рана не позволяла ему ни ходить, ни ездить верхом, то он командовал сидя в санях, а когда была перебита вся запряжка, он отдавал приказы, опираясь на плечо одного из своих адъютантов. За этот бой А.А. Бибиков был награжден орденом Св. Владимира 2-й степени.
Едва залечив раны, в декабре 1812 года Бибиков последовал за армией с остатками своего войска в Пруссию, хотя из 12000 его ополченцев уцелело всего 900 человек. С этой горстью людей Бибиков участвовал в сражениях при Питконене и Лабиау и в занятии Кенигсберга. После этого он испросил дозволения графа Витгенштейна остаться в Кенигсберге, чтобы собрать и устроить остатки своих войск. Здесь ополчение, в знак уважения к своему начальнику, исходатайствовало Высочайшее согласие на поднесение Бибикову золотой шпаги с надписью: "За Веру и Царя", а на эфесе: "Сенатору Бибикову С.-Петербургское ополчение".
Устроенное вновь, насколько возможно, ополчение Бибикова выступило из Кенигсберга к крепости Пиллау и с 6 февраля 1813 года участвовало в осаде Данцига. Но в это время Бибиков внезапно заболел и вынужден был возвратиться в Кенигсберг. Там, несмотря на болезнь, он собирал постепенно прибывавшие остатки рассеянного ополчения, но все-таки ходатайствовал об увольнении его от военной службы. Однако почувствовав временное облегчение, он снова прибыл под Данциг (16 июня). Здесь начальник осадного корпуса, герцог Александр Виртембергский, поручил ему (помимо Петербургского и Новгородского) также находившееся там Калужское ополчение.
1 июля 1813 года А.А. Бибиков представил герцогу план преобразования ополчения, который был одобрен и немедленно приведен в исполнение. Тем временем пришло разрешение Бибикову оставить службу, и 10 июля 1813 года он простился с ополченцами. В виде особой милости император разрешил ему и впредь носить генеральский ополченский мундир. А.А. Бибиков возвратился в Петербург и снова приступил к обязанностям сенатора, вступив в I отделение 3-го департамента Сената, хотя и продолжал числиться в специально учрежденной для него должности инспектора Петербургского и Новгородского ополчений. Для поправки здоровья Бибиков 15 октября 1813 года был уволен и от должности сенатора.
Он занялся написанием мемуаров и вошел в историческую литературу как автор весьма важного труда об отце: "Записки о жизни и службе Александра Ильича Бибикова" (СПб., 1817). Эта книга, до сих пор остающаяся по многим вопросам первоисточником для биографии отца автора, ясно свидетельствует, что А.А. Бибиков был человеком для своего времени весьма образованным. Кроме того, он наконец-то смог уделять много времени семье. С его женой, Анной Васильевной, урожденной Ханыковой (1772-1826), у А.А. Бибикова было трое детей, причем старший сын, Василий Александрович Бибиков, дослужился до чина генерал-майора, имел ордена.
25 апреля 1821 года А.А. Бибиков уехал на лечение в Германию, в Карлсбад, но жизнь его уже клонилась к закату. Вернуться в Россию ему было не суждено. Сенатор, тайный советник А.А. Бибиков умер 20 июля 1822 года в Дрездене. Его тело было привезено в Петербург и погребено на Лазаревском кладбище Александро-Невской лавры.
